Άλυτοι μαθηματικοί γρίφοι: Ο ευρών αμοιφθήσεται

του Γιώργου Φλώκα

Πριν από λίγο καιρό, ο ρώσος Γκριγκόρι Πέρελμαν, αποκαλούμενος και «ο ευφυέστερος άνθρωπος στον κόσμο», κατάφερε να λύσει ένα από τα επτά μεγαλύτερα άλυτα μαθηματικά προβλήματα, την υπόθεση του Πουανκαρέ, που παρέμενε χωρίς απόδειξη από το 1904. Τεχνικά, ο ρώσος μαθηματικός είχε αποδείξει την υπόθεση αυτή, που καθορίζει ποια στερεά σώματα είναι ισοδύναμα με μια σφαίρα και ποια όχι, από τοπολογική άποψη, από το 2006, παραδίδοντας τις πεντακόσιες σελίδες της απόδειξης στο πανεπιστήμιο του Κορνέλ. Ωστόσο, ο μαθηματικός κόσμος, μόλις τον Ιούλιο αποφάνθηκε ότι η απόδειξη του Πέρελμαν είναι σωστή.

Ο Ρώσος αντισυμβατικός μαθηματικός αρνήθηκε την αμοιβή του ενός εκατομμυρίου δολαρίων που είχε οριστεί για όποιον αποδείξει την περίφημη υπόθεση, τονίζοντας ότι δεν τον ενδιαφέρουν τα χρήματα και ότι ο ίδιος... αμφιβάλλει αν είναι και τόσο καλός μαθηματικός.

Πάρα ταύτα, απομένουν τουλάχιστον πέντε μεγάλα μαθηματικά προβλήματα, που ταλανίζουν τα μυαλά των μαθηματικών για περισσότερο από έναν αιώνα, και για τα οποία το περίφημο Ινστιτούτο Μαθηματικών Clay της Μασαχουσέτης έχει θεσπίσει έπαθλο ενός εκατομμυρίου δολαρίων. Οπότε, ιδού πεδίο δόξης λαμπρόν. 

Υπόθεση του Riemann
Η υπόθεση που διατύπωσε το 1859 ο μαθηματικός Bemhard Riemann σχετίζεται με τη συστηματικότητα στην κατανομή των πρώτων αριθμών. Σημειώνεται ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι αυτοί που διαιρούνται μόνο με τη μονάδα και τον εαυτό τους π.χ. 3, 5, 7, 11 κ.ο.κ. Η συχνότητα εμφάνισης των πρώτων αριθμών στην αριθμητική ακολουθία μειώνεται σταδιακά, αλλά έχει διαπιστωθεί συστηματικότητα στην εμφάνισή τους, με κάποιες παρεκκλίσεις. Ο μαθηματικός, με τη βοήθεια μιας συνάρτησης, που έγινε γνωστή ως η "Ζ συνάρτηση του Riemann", περιέγραψε ακριβώς αυτές τις παρεκκλίσεις. Ωστόσο, λείπει η τελική απόδειξη της θεωρίας του εδώ και 150 χρόνια. 

Εικασία των Birch και Swinnerton – Dyer
Το 1965, οι δυο μαθηματικοί διατύπωσαν την εικασία ότι υπάρχει μια συνάρτηση, η L-συνάρτηση της ελλειπτικής καμπύλης, η οποία μπορεί να προσδιορίσει εάν υπάρχουν άπειρες ή πεπερασμένες λύσεις στις εξισώσεις τύπου ψ2=x2-x+1, στο πεδίο των ακέραιων αριθμών. Η απόδειξη της ως άνω εικασίας αποτελεί ένα από τα μεγαλύτερα μαθηματικά προβλήματα της εποχής μας, με πολλαπλές εφαρμογές στον τομέα των ελλειπτικών καμπυλών. 

Εικασία του Hodge
Η εικασία του σκοτσέζου μαθηματικού William Hodge, από το 1930, σχετίζεται με τη δυνατότητα γεωμετρικής εξήγησης πολύπλοκων σχημάτων που συναντώνται τόσο στην τρισδιάστατη αποτύπωση της πραγματικότητας, όσο και σε περισσότερες διαστάσεις. Ο Hodge ισχυρίστηκε ότι μπορούμε να προσεγγίσουμε το σχήμα ενός δεδομένου αντικειμένου, με την τεχνική της συγκόλλησης γεωμετρικών σχημάτων, σε μια θεωρία που, αν και δεν αποδείχθηκε εδώ και 80 χρόνια, βοήθησε ιδιαίτερα την τεχνολογική εξέλιξη στον τομέα του animation, όπου απαιτούνται πολύπλοκες γραφικές παραστάσεις. 

Εξισώσεις Navier – Stokes
Οι δυο μαθηματικοί, με ένα σύνολο εξισώσεων που διατύπωσαν πριν από 150 χρόνια, αποπειράθηκαν να περιγράψουν την κίνηση των ρευστών, όπως είναι τα υγρά και τα αέρια. Σύμφωνα με αυτές, οι μεταβολές στην ορμή μιας απειροελάχιστης μονάδας ρευστού είναι το άθροισμα των δυνάμεων που δρουν μέσα σε αυτό. Εφαρμογές του πλέγματος εξισώσεων των δυο μαθηματικών βρίσκονται στην μετεωρολογία, την αστρονομία και τη φυσική.

Ωστόσο, παρά την χρήση εξελιγμένων υπολογιστών για τον υπολογισμό κινήσεων ρευστών σε φαινόμενα όπως το Ελ Νίνιο, οι προβλέψεις δεν είναι ακριβείς, καθώς υπάρχουν χιλιάδες παράμετροι που στρεβλώνουν την τελική κίνηση του ρευστού. Το ινστιτούτο Clay προσφέρει έπαθλο ενός εκατομμυρίου δολαρίων σε όποιον παρουσιάσει σοβαρή πρόοδο στις εξισώσεις αυτές. 

Η θεωρία Yang – Mills
Πριν από 50 χρόνια, οι φυσικοί Chen Ning Yang και Robert Mills παρουσίασαν ένα πλαίσιο που περιγράφει τις κινήσεις των στοιχειωδών σωματιδίων, με τα οποία ασχολείται η κβαντική φυσική και η κβαντομηχανική. Ωστόσο, αν και η περιγραφή των αλληλεπιδράσεων των σωματιδίων έχει ελεγχθεί σε εργαστήρια και δείχνει ακριβής, το μαθηματικό υπόβαθρο είναι ακόμη ασαφές. Πιο συγκεκριμένα, μένει να αποδειχθεί ότι ακόμη και η πιο ελαφριά κατάσταση του σωματιδίου ενός κβαντικού πεδίου πρέπει να έχει αυστηρά θετική μάζα.